Đề bài:
Cô bé quàng khăn đỏ có một hộp gồm 1.000 viên kẹo. Ở bên ngoài có một số lượng tùy ý thanh chocolate và bánh kem.
Cô bé quàng khăn đỏ có thể thay:
- Hai viên kẹo trong hộp bằng 1 thanh chocolate.
- Hai bánh kem trong hộp bằng 1 thanh chocolate.
- Hai thanh chocolate trong hộp bằng 1 viên kẹo và 1 bánh kem.
- Một viên kẹo vào một thanh chocolate trong hộp bằng 1 bánh kem.
- Một bánh kem và một thanh chocolate trong hộp bằng một viên kẹo.
Hỏi, có thể xảy ra tình huống sau một thời gian, trong hộp chỉ còn lại:
a) 1 viên kẹo?
b) 1 bánh kem?
c) 1 thanh chocolate?
Hướng dẫn giải:
Gọi S là tổng số viên kẹo và bánh kem trong hộp. Ta thấy rằng trong quá trình biến đổi thì S luôn là một số chẵn.
Thật vậy, ban đầu S chẵn. Duyệt qua các phép biến đổi:
- Hai viên kẹo trong hộp bằng 1 thanh chocolate --> S giảm 2
- Hai bánh kem trong hộp bằng 1 thanh chocolate --> S giảm 2
- Hai thanh chocolate trong hộp bằng 1 viên kẹo và 1 bánh kem --> S tăng 2
- Một viên kẹo và một thanh chocolate trong hộp bằng 1 bánh kem --> S không đổi
- Một bánh kem và một thanh chocolate trong hộp bằng một viên kẹo --> S không đổi.
=> Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Do S luôn là số chẵn, do đó các tình huống a), b) không thể xảy ra.
Để giải câu c), ta cũng làm tương tự, nhưng tinh tế hơn.
Giả sử 1 viên kẹo giá 1 đồng, bánh kem giá 3 đồng và một thanh chocolate giá 2 đồng, khi đó, các phép đổi đồ ăn có giá như sau:
1. Đổi 2 kẹo lấy 1 chocolate: Đổi 2 đồng thành 2 đồng.
2. Đổi 2 bánh kem lấy 1 chocolate: Đổi 6 đồng thành 2 đồng.
3. Đổi 2 chocolate lấy 1 kẹo, 1 bánh kem: Đổi 4 đồng thành 4 đồng.
4. Đổi 1 kẹo 1 chocolate lấy 1 bánh kem: Đổi 3 đồng thành 3 đồng.
5. Đổi 1 bánh kem 1 chocolate lấy 1 kẹo: Đổi 5 đồng thành 1 đồng.
Như vậy, ở mỗi phép đổi, hoặc số tiền bảo toàn, hoặc giảm đi 4 đồng. Ban đầu có 1.000 kẹo sẽ tương ứng với 1.000 đồng, như vậy quá trình đổi không thể kết thúc bằng 1, 2, hoặc 3 đồng, nên bài toán vô nghiệm.
Chú ý rằng cách giải này áp dụng được cho cả hai câu a), b).
Theo VnExpress
